video enlace

http://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY

VIDEO DE SOLUCION DE ECUACIONES 2X2

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Prof. Evelyn Dávila

Modificado por Carmen Caiseda

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se resolverán simultáneamente.   Hallar la solución de un sistemaconsiste en encontrar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.

Llamamos a un sistema de orden      m x n     si tiene

m ecuaciones y   n variables.

 

Ejemplo 1

    2 x - y = 3               ecuación (1)

      x + 3 y  = 2                        ecuación (2)

Sistema de orden 2 (ecuaciones 1 y 2 )   y   2 (variables, x y)  o para decirlo en forma corta:   

2  x  2

 

Ejemplo 2

5 x + 3 y = 10              (1)

 y = 2 x - 5                   (2)

  x = y + 3                    (3)

¿Cuántas ecuaciones tiene este sistema? _____ ¿Cuántas variables?  _____

¿Cuál es el orden de este sistema?  _______

 

Sistema 2 X 2

Un sistema 2 X 2 consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.

 La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución  de ambas ecuaciones. 

Ejemplo:   La solución del sistema de ecuaciones                     

es   (x, y)  = (2,4)   esto es:                                                         x = 2,  y = 4.

                                                                                                          ↓     ↓

Puede verificarse  pues:                                                          

Utilizaremos uno de los siguientes métodos para resolver un sistema   2 X 2,   éstos son:

Gráfico,  Sustitución,  Eliminación

 

A.   Gráfico

La gráfica de cada ecuación de este sistema es una recta por lo tanto un sistema 2 x 2 consta de dos líneas en un mismo plano. Resolver este sistema por elmétodo gráfico consiste en dibujar ambas líneas en un Plano Cartesiano e identificar cualquier punto en común, es decir un punto de intersección, dado por un par ordenado de la forma (x, y).

Posibles soluciones de un sistema 2x2

	Sistema determinado  La solución es  única,  el punto de intersección
	Sistema inconsistente  Ambas líneas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas, decimos que son líneas paralelas. Este sistema no tiene solución.
	Sistema dependiente Este sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto solución es un conjunto infinito

B.  Método de Sustitución

Este método es recomendable cuando al menos una de las dos ecuaciones es fácil para despejar en una de las variables.

 

Ejemplo 1

Sistema de Ecuaciones	Paso [1] Despeja para una ecuación para una de las dos variables la ecuación	Paso [2] Sustituye en la otra  ecuación yresuelve la nueva ecuación para la variable que queda	Paso [3] Sustitución “hacia atrás”
y = 3 x – 2       (1)         y =  5 + 2 x      (2)	La ecuación (1) para y    y = 3 x – 2      (1) ¡ya está despejada!	Sustituye en la ecuación (2)   la  variabley por su expresión  3 x – 2 3 x – 2 = 5 + 2 x        (2) Resuelve para x  3 x – 2 x = 5 + 2              x = 7	Conozco x = 7, puedo sustituir en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2) para y.  Sustituyo en (1) y = 3(7) – 2 y = 21 – 2 y = 19
Solución  del sistema:   (x,y)  = (7,19)

 

Ejemplo 2

Paso [1]    x   ya está despejada en (1)    à  Paso [2]    Sustituye y resuelve: 

            2 y  -  ( 3 y – 10 )  = 8       ecuación  (2)

2 y  -  3 y  +  10    =  8

            - y            =  8 – 10

                            y            =    _____             ¿Ya terminé ?

Sustituye el valor encontrado para y  en la ecuación (1)

x = 3 y – 10.

x = 3(2) – 10

x = -4

Solución al sistema     ( -4 , 2 )

C. Método de Eliminación

Objetivo

·         eliminar una de las dos variables al sumar  o restar dos de las ecuaciones del sistema.

·         los coeficientes de la variable que deseo eliminar deben ser valores opuestos (sumar ecuaciones) o iguales (restar)

Ejemplo 1   

Sistema de Ecuaciones	Paso [1]:  Coeficientes iguales u opuestos(multiplica por un # conveniente si es necesario)	Paso [2]:  Sumar (o restar) ambas ecuaciones y resuelve	Paso [3]:  Sustitución “hacia atrás”
	No es necesario pues los coeficientes de yson opuestos	Al  sumar  (1) y (2) obtengo: 8 x = 16    x =  16/8    x =  2	Sustituyo x = 2 en cualquiera de las ecuaciones.  En la (2) 5(2) –  3 y =  10  Resuelvo: - 3 y   = 10 - 10   - 3 y = 0      y   = 0
La solución del sistema es (x, y) = (2,0)

Ejemplo 2      

Los coeficientes no se eliminan al sumar o restar por lo tanto nuestro objetivo será utilizar una de las propiedades de equivalencia de ecuaciones para obtener en ambas ecuaciones el mismo coeficiente.   Esto es,  puedo multiplicar TODA la ecuación (1) por 3  para que los coeficientes de la x sean opuestos.

 

Procedimiento

Paso [1]   Para eliminar la variable   x  multiplica la ecuación (1)  por  3.

3[x -  2y  =  7]    à        3( x) - 3(2y) =  3(7)      

                                    3 x - 6 y = 21               (1 nueva)      

Paso [2]    Sumar  ambas:

                                    3 x - 6 y = 21       (1 nueva)

-3 x + y  =  4         (2)

_________________

       -5 y = 25      

                     y = -5

Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (1) (2) del sistema.  Escojo (1)

x – 2(-5) =  7                                      

x + 10  =  7

          x = -3  

La solución del sistema es (x, y) = ( -3, -5).